2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|-11}，则A∪B=

（A）（-1，1） （B）（1，2） （C）（-1，+∞） （D）（1，+∞）

（2）已知复数z=2+i，则

（A） （B） （C）3 （D）5

（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是

（A） （B）y= （C） （D）

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

0）的离心率是，则a=

（A） （B）4 （C）2 （D）

（6）设函数f（x）=cosx+bsx（b为常数），则"b=0"是"f（x）为偶函数"的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）

（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4β+4cosβ （B）4β+4sβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sβ

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知向量=（-4，3），=（6，m），且，则m=__________．

（10）若x，y满足则的最小值为__________，最大值为__________．

（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．（13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在△ABC中，a=3，，cosB=．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求s（B+C）的值．

（16）（本小题13分）

设{}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）记{}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

（17）（本小题12分）

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额

支付方式不大于2000元大于2000元

仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．（19）（本小题14分）

已知椭圆的右焦点为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|O·|ON|=2，求证：直线l经过定点．

（20）（本小题14分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）A （4）B

（5）D （6）C （7）A （8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）8 （10）-31

（11） （12）40

（13）若，则．（答案不唯一）

（14）13015

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由余弦定理，得

．

因为，

所以．

解得．

所以．

（Ⅱ）由得．

由正弦定理得．

在中，．

所以．

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设的公差为．

因为，

所以．

因为成等比数列，

所以．

所以．

解得．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

所以，当时，；当时，．

所以，的最小值为．

（17）（共12分）

解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，

A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人．

估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为．

（Ⅱ）记事件C为"从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元"，则．

（Ⅲ）记事件E为"从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元"．

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（II）知，=0.04．

答案示例1：可以认为有变化．理由如下：

比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．

答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：

事件E是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）因为平面ABCD，

所以．

又因为底面ABCD为菱形，

所以．

所以平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PA⊥AE．

因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，

所以AE⊥CD．

所以AB⊥AE．

所以AE⊥平面PAB．

所以平面PAB⊥平面PAE．

（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．

取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．

则FG∥AB，且FG=AB．

因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四边形CEGF为平行四边形．

所以CF∥EG．

因为CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

（19）（共14分）

解：（I）由题意得，b2=1，c=1．

所以a2=b2+c2=2．

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则直线AP的方程为．

令y=0，得点M的横坐标．

又，从而．

同理，．

由得．

则，．

所以

．

又，

所以．

解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，

即与．

（Ⅱ）令．

由得．

令得或．

的情况如下：

所以的最小值为，最大值为．

故，即．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

当时，；

当时，；

当时，．

综上，当最小时，．

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