绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2014湖北卷]i为虚数单位，＝( )

A．－1B．1C．－iD．i

1．A [解析]＝＝－1.故选A.

2．[2014湖北卷]若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝( )

A．2B.C．1D.

2．C [解析]展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C22a5x－3，故含的项的系数是C22a5＝84，解得a＝1.故选C.

3．[2014湖北卷]U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B＝?"的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．C [解析]若存在集合C使得A?C，B??UC，则可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A?C，B??UC，故"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B＝?"的充要条件．故选C.

4．[2014湖北卷]根据如下样本数据：

x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0 得到的回归方程为sup6(^(^)＝bx＋a，则( )

0，b<0

C．a<0，b>0D．a<0，b<0

4．B [解析]作出散点图如下：

观察图象可知，回归直线sup6(^(^)＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B.

5．[2014湖北卷]在如图1-1所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

图1-1

A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②

5．D [解析]由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.

6．[2014湖北卷]若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：

①f(x)＝sx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.

其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )

A．0B．1C．2D．3

6．C [解析]由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx＝0.

①f(x)g(x)dx＝sxcosxdx＝

sxdx＝＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；

②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝＝－≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；

③f(x)g(x)dx＝xx2dx＝＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．

综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.故选C.

7．[2014湖北卷]由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )

A.B.C.D.

7．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，

SΩ1＝S△AOB＝×2×2＝2，S△BCE＝×1×＝，则S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－＝.故由几何概型得，所求的概率P＝＝＝.故选D.

8．[2014湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术："置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )

A.B.C.D.

8．B [解析]设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝L2h，则π≈.故选B.

9．、[2014湖北卷]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

A.B.C．3D．2

r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，

即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.

所以＋≤.故选A.

10．[2014湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－＋|x－－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )

A.B.

C.D.

10．B [解析]因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；

当a2 f(x)＝＝－a2；

当x≥2a2时，

f(x)＝＝x－3a2.

综上，f(x)＝

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，

观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.

11．[2014湖北卷]设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．

11．±3 [解析]因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.

12．[2014湖北卷]直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.

12．2 [解析]依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×s45°，得＝＝1.故a2＋b2＝2.

图1-2

13．[2014湖北卷]设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．

13．495 [解析]取a1＝815?b1＝851－158＝693≠815?a2＝693；

由a2＝693?b2＝963－369＝594≠693?a3＝594；

由a3＝594?b3＝954－459＝495≠594?a4＝495；

由a4＝495?b4＝954－459＝495＝a4?b＝495.

0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．

0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；

0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

14．(1) (2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)

[解析]设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：

(1)依题意，c＝，则＝，

即＝.

0)；

0)．

15．[2014湖北卷](选修4-1：几何证明选讲)

如图1-3，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．

图1-3

15．4 [解析]由切线长定理得QA2＝QCQD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.

16．[2014湖北卷](选修4-4：坐标系与参数方程)

已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．

16. [解析]由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得

故曲线C1与C2的交点坐标为.

17．、、、[2014湖北卷]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．

(1)求实验室这一天的最大温差．

(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2s，

又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤s≤1.

当t＝2时，s＝1；

当t＝14时，s＝－1.

于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

11时，实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2s，

11，

即s<－.

又0≤t<24，因此 即10 故在10时至18时实验室需要降温．

18．、、[2014湖北卷]已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{}的通项公式．

＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

18．解：(1)设数列{}的公差为d，

依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，

故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，＝2；

当d＝4时，＝2＋(n－1)4＝－2.

从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.

(2)当＝2时，Sn＝，显然<＋800，

＋800成立．

当＝－2时，Sn＝＝2.

0，

40或n<－10(舍去)，

＋800成立，n的最小值为41.

综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

19．、、、[2014湖北卷]如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

图1-4

19．解：方法一(几何方法)：

(1)证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.

当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

图① 图②

(2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.

又DP＝BQ，DP∥BQ，

所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.

在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，

于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．

同理可证四边形PQ也是等腰梯形．

分别取EF，PQ，的中点为H，O，G，连接OH，OG，

则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，

故∠GOH是面EFPQ与面PQ所成的二面角的平面角．

若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.

连接，，则由EF∥，且EF＝知四边形M是平行四边形．

连接GH，因为H，G是EF，的中点，

所以GH＝ME＝2.

在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，

OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，

由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝1±，

故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．

方法二(向量方法)：

以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．

图③

sup6(→(→)＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．

(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，

因为sup6(→(→)＝(－2，0，2)，

所以sup6(→(→)＝2sup6(→(→)，即BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由sup6(→(o(FE,sup6(→)可得

于是可取n＝(λ，－λ，1)．

同理可得平面PQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．

若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，

则mn＝(λ－2，2－λ，1)(λ，－λ，1)＝0，

即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.

故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．

20．[2014湖北卷]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X40120发电机最多

可运行台数123 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

20．解：(1)依题意，p1＝P(40 p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

120)＝＝0.1.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.9477.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．

①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40Y420010000P0.20.8 所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.

③安装3台发电机的情形．

依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：

Y3400920015000P0.20.70.1 所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

21．[2014湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，

化简整理得y2＝2(|x|＋x)．

故点M的轨迹C的方程为y2＝

(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．

依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．

由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①

当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.

故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.

当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②

设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③

(i)若由②③解得k<－1或k>.

即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．

(ii)若或

由②③解得k∈或－≤k<0.

即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．

当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．

故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．

(iii)若由②③解得－1 即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，

故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

22．[2014湖北卷]π为圆周率，e＝2.71828...为自然对数的底数．

(1)求函数f(x)＝的单调区间；

(2)求e3，3e，eπ，πe，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

(3)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

22．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.

0，即0 当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．

故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．

(2)因为e<3<π，所以3<π，πe<π3，即3e<πe，eπ<3π.

于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得

3e<πe<π3，e3 故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．

由e<3<π及(1)的结论，得f(π) 由<，得π3<3π，所以3π>π3；

由<，得3e 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.

(3)由(2)知，3e<πe<π3<3π，3e 又由(2)知，<，得πe 故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．

由(1)知，当0 即<.

在上式中，令x＝，又2－.①

3，

e3，所以e3<πe.

π，

所以eπ<π3.

综上可得，3e 即这6个数从小到大的顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.

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