2015年天津卷高考数学试卷（文科）

一、选择题

1.已知全集，集，集合，则集合

(A)(B)(C)(D)

2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

(A)7(B)8(C)9(D)14

3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为

(A)2(B)3(C)4(D)5

4.设，则""是""的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

5.已知双曲线的一个焦点为，

且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为

(A)(B)(C)(D)

6.如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若=2，MD=4，=3，则线段NE的长为

(A)(B)3(C)(D)

7.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则,的大小关系为

(A)(B)(C)(D)

8.已知函数，函数，则函数的零点的个数为

(A)2(B)3(C)4(D)5

二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.i是虚数单位，计算的结果为．

10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为.11.已知函数，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为．

12.已知则当a的值为时取得最大值。

13.在等腰梯形ABCD中，已知，点E和点F分别在线段BC和DC上，且则的值为．

14.已知函数若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。

（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；

（II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。

（i）用所给编号列出所有可能的结果；

（ii）设A为事件"编号为的两名运动员至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率。

16.（13分）△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，

（I）求a和sC的值；

（II）求的值。

17.（13分）

如图，已知平面ABC，AB=AC=3，,，点E，F分别是BC和的中点，

（I）求证：EF平面；

（II）求证：平面平面。

（III）求直线与平面所成角的大小。

18.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且,

.

(1)求和的通项公式；

(2)设,求数列的前n项和.

19.已知椭圆的上顶点为B，左焦点为,离心率为.

(1)求直线BF的斜率；

(2)设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，.

(i)求的值；

(ii)若，求椭圆的方程.

20.已知函数

(1)求的单调性；

(2)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有;

(3)若方程有两个正实数根且，求证：.

答案

一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

1.B2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.A

二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分39分。

(9.)-i(10).(11).3(12)4(13)(14)

三.解答题

（15）本小题主要考查分层抽样，用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基础知识，考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力。满分13分

（I）解：从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2

（II）（i）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种.

（ii）解：编号为的两名运动员至少有一人被抽到的所有结果为,,,,,,,,,共9种,

因此，事件A发生的概率

（16）本小题主要考查同角三角函数的基本系数、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力.满分13分.

（I）解：在中，由,可得.由,

得bc=24，又由，解得b=6,c=4.

由,可得=8.

由,得.

(II)解：

=

(17)本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.

考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

（I）证明：如图，连接.在中，因为E和F分别是BC和的中点，所以

.又因为平面,所以平面。

（II）证明：

因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又,所以平面,又因为平面,所以平面平面.

（III）解：取的中点M和的中点N,连接,,.因为N和E分别为和的中点，所以,,故,所以,且。又因为平面

,所以,从而为直线与平面所成的角。

在中，可得AE=2，所以.

因为,,,又由,有.

在中，可得。

在中，,因此

所以，直线与平面所成的角为.

（18）本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识。考查数列求和的基本方法和运算求解能力，满分13分。

（I）解：设数列的公比为q,数列的公差为d,由题意,由已知,有消去d，整数得又因为＞0，解得,所以的通项公式为,数列的通项公式为.

（II）解：由（I）有,设的前n项和为,则

两式相减得

所以.

19.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂至等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想和化归思想解决问题的能力。满分14分。

（I）解：设，由已知离心率及又因为,故直线BF的斜率

（II）设点,（i）由（I）可得椭圆方程为直线BF的方程为,将直线方程与椭圆方程联立，消去y，得解得.因为,所以直线BQ方程为,与椭圆方程联立，消去y，整得,解得.

又因为,及，可得

（ii）解：由（i）有,所以,即,又因为,所以=.

又因为,所以,因此所以椭圆方程为（20）本小题主要考查导数的运算、

导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识。考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。

（I）由,可得,当,即时,函数单调递增；当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

（II）证明：设点P的坐标为，则,曲线在点P处的切线方程为,即,令函数即则.

由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对于任意的实数x,，即对于任意的正实数,都有.

（III）证明：由（II）知。设方程的根为，可得。

因为在上单调递减，又由（II）知，因此＞。

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即.

设方程的根为，可得=.因为，对于任意的，有，即.

设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.

由此可得

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