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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设复数z满足＝i，则|z|＝

(A)1(B)(C)(D)2

(2)s20°cos10°－con160°s10°＝

(A)(B)(C)(D)

，则P为

(B)nN，≤

(C)nN，≤(D)nN，＝ (4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(5)已知M(x0，y0)是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 (A)(－，) (B)(－，)

(C)(，)(D)(，)

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:"今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?"其意思为:"在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 (A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛(7)设D为ABC所在平面内一点，则

(A)(B)

(C)(D)(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

(A)()，k(b)()，k

(C)()，k(D)()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

(A)5(B)6(C)7(D)8

（10）的展开式中，的系数为

(A)10(B)20(C)30(D)60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，

（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的

（13）表面积为16＋20，则r＝(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的

整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是()

A.[，1)B.[)C.[)D.[，1)第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f(x)＝x(x＋)为偶函数，则a＝

(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.

(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为.

(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

0，

(Ⅰ)求{}的通项公式：

(Ⅱ)设，求数列}的前n项和

(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，

E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，

DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(x1－)2(w1－)2(x1－)(y－)(w1－)(y－)46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1＝1，，＝

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1v1)，(u2v2)........(unvn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：(20)(本小题满分12分)

0)交于M，N两点，

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.(21)(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；

(Ⅱ)用表示m，n中的最小值，设函数，讨论h(x)零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E（I）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（II）若OA＝CE，求∠ACB的大小.

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求，的极坐标方程；

（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求△N的面积(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

0.

1的解集；

(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案A卷选择题答案

一、选择题

（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B

（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D

A、B卷非选择题答案

二、填空题

（13）1（14）（15）3（16）二、解答题

（17）解：

（I）由，可知

可得即

由于可得

又，解得

所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为

（II）由

设数列的前n项和为，则

（18）解：

（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，

可得AG=GC=.由 BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.

又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，

可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，

可得FE=.从而

又因为

所以平面（III）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，

为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

由（I）可得所以

故

所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.（19）解：

（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。......2分

（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于。

所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。......6分

（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值

年利润z的预报值

。......9分

（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值所以当，即x=46.24时，取得最大值

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。......12分

（20）解：

（I）有题设可得又

处的导数值为，C在点出的切线方程为

，即.

股所求切线方程为

（III）存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为故

从而当b=-a时，有（21）解：

（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点

因此，当

（II）当是的零点

综上，当（22）解：

（I）链接AE，由已知得，

在中，由已知得，DE=DC故

链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°

故，DE是得切线

（II）设CE=1，AE=X，由已知得，

由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即

可得，所以（23）解：

（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。......5分

（II）将代入，得，解得，。故，即。

由于的半径为1，所以的面积为。......10分

（24）解：

（I）当时，化为，

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得。

所以的解集为。......5分

（II）由题设可得，

所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。

由题设得，故。

所以a的取值范围为......10分

B卷选择题

一、选择题

（1）D（2）A（3）C（4）A(5)D(6)B

(7)D(8)A(9)C(10)C(11)B(12)A

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