2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

文科数学

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）

A.B.C.D.

2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（）

A.B.C.D.

3.已知向量，，则（）

A.B.C.D.

4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

A.B.C.D.5.设、是实数，则""是""的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分不必要条件

6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）

A.B.C.D.

7.已知圆和两点，，若圆上存在点

，使得，则的最大值为（）

A.B.C.D.

8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率".咋特定条件下，可食用率

与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），

下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟第2部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若，则.

10.设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为

.

11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.12.在中，，，，则；.

13.若、满足，则的最小值为.

14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这

项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都

完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序

时间

原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为工作日.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.16.（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.

（1）写出的最小正周期及图中、的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

18.（本小题满分13分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C：.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

20.（本小题满分13分）

已知函数.

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；

（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）

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