面面垂直推不出线线垂直，但线面垂直则线线垂直，即一直线垂直某平面，则该线垂直此平面内任一直线；该线所在任何平面也垂直于此平面。在不同平面的三角形和正方形互相垂直，并不需要该三角形的任一条边与该正方形垂直为先决条件。

判定定理

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述：若a⊥β，aα，则α⊥β

证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵aα，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵bβ，a⊥β

∴a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵cβ

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β

证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c

∵a∥β

∴a∥c（线面平行的性质定理）

∵a⊥α

∴c⊥α（线面垂直的性质定理）

∵cβ

∴β⊥α（定理1）

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）

证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b

则根据线面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β（推论1）

这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

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