高中数学复合函数求导公式及法则_高中数学知识点解答

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本文为各位高中生解答了关于“高中数学复合函数求导公式及法则”的相关内容,希望对大家有所帮助。

很多同学想要了解关于“高中数学复合函数求导公式及法则”的知识解答,本文整理了关于“高中数学复合函数求导公式及法则”的相关内容,以下为具体信息:

问题:高中数学复合函数求导公式及法则

解答:

设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数。

复合函数如何求导

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u),

从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

呵呵,我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂,那就举个例子吧,耐心看哦!

f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)

所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u,得f'[g(x)]=2cos(2x).

以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)

y'={sin(3-x)]'=-cos(x)

一开始会做不好,老是要对照公式和例子,

但只要多练练,并且熟记公式,最重要的是记住一两个例子,多练习就会了。

复合函数求导法则

证法一:先证明个引理

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0

x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

0)α=0)

当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

0的极限,得

0)αΔu/Δx

0

0)α=0

最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

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